复合求导公式

复合求导的公式通常指的是微积分中的链式法则（Chain Rule），它是求解复合函数导数的重要工具。下面我们将详细介绍这一法则及其相关概念。

链式法则概览

当函数y是由外层函数f(u)和内层函数u = g(x)复合而成，即y = f(g(x))时，其导数求解可通过链式法则进行。具体公式为：

\[ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) \]

或者使用莱布尼茨符号表示：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

核心思想

1. 分解函数：将复合函数分解为外层函数f(u)和内层函数u = g(x)。

2. 逐层求导：

对外层函数f(u)求导，得到f'(u)。

对内层函数u = g(x)求导，得到g'(x)。

3. 相乘得结果：将两个导数相乘，得到最终的导数。

示例详解

1. 简单复合函数示例：求y = sin(2x)的导数。

外层函数f(u) = sin(u)，导数f'(u) = cos(u)。

内层函数u = 2x，导数u' = 2。

结果：y' = cos(2x) 2 = 2cos(2x)。

2. 多重复合函数示例：求y = e^(x^2 + 1)的导数。

外层函数f(u) = e^u，导数f'(u) = e^u。

内层函数u = x^2 + 1，导数u' = 2x。

结果：y' = e^(x^2 + 1) 2x = 2x e^(x^2 + 1)。

多层复合函数的推广

对于更复杂的函数，如y = h(f(g(x)))，其导数求解也是基于链式法则，逐层求导后连乘。

注意事项

1. 不要遗漏内层导数：在求导过程中，不要忽略内层函数的导数。

2. 区分链式法则与乘积法则：链式法则用于复合函数，而乘积法则则用于两个函数的乘积。

总结步骤

1. 识别函数的复合结构，并将其分解为外层和内层函数。

2. 对外层函数求导，保持内层函数不变。

3. 对内层函数求导。

4. 将两个导数相乘，并代入原内层函数的表达式。

通过练习更多例子，如ln(cos x)、√(1 + e^x)等，可以加深对链式法则的理解。