等比数列公式

等比数列是一种特殊的数列结构，每一项与前一项的比值始终恒定，我们称之为公比。为了更好地理解和应用等比数列，下面将详细介绍其核心公式及相关要点。

一、通项公式

等比数列的第n项可以通过首项a1和公比r来计算，具体表达式为：

a_n = a_1 · r^(n-1)

例如，如果首项a1等于2，公比r等于3，那么第4项a4的计算就是：a4 = 2 · 3^(4-1) = 54。

二、前n项和公式

等比数列的前n项和公式根据公比r是否等于1，分为两种情况：

1. 当r不等于1时，前n项和Sn的表达式为：

Sn = a1 · (r^n - 1) / (r - 1)

2. 当r等于1时，由于所有项均为首项a1，所以前n项和Sn直接等于n乘以首项：Sn = a1 · n。

这个公式的推导过程基于错位相减法。通过对原序列进行变换和相减，可以简化得到上述公式。

三、无穷等比数列的和（收敛时）

当公比r的绝对值小于1时，无穷等比数列的和存在。其计算公式为：

S = a1 / (1 - r)当公比r的绝对值大于或等于1时，级数发散，和不存在。例如，首项a1为1，公比r为1/2的无穷和为S = 1 / (1 - 1/2) = 2。

四、等比数列与等差数列的关键区别

等比数列与等差数列是两种不同类型的数列。在等比数列中，相邻项通过乘公比关联；而在等差数列中，相邻项通过加公差关联。

五、常见误区提示

在理解和应用等比数列的公式时，需要注意以下误区：

1. 混淆项数指数：第n项的指数是n-1，而不是n。

2. 忽略收敛条件：在计算无穷和时，必须确保公比r的绝对值小于1。

3. 未分情况讨论：在计算前n项和时，需要考虑r是否等于1的情况。掌握这些公式和要点后，可以灵活解决等比数列的相关问题，如计算特定项、求和以及判断级数的收敛性。在实际应用中，只需将具体数值代入相应公式即可。