反函数基本公式大全

反函数：定义、求法、导数公式及性质详解

一、反函数定义

函数与反函数之间存在一种特殊的一一对应关系。若给定函数 y = f(x)，其反函数可以表示为 x = f−1(y)。换句话说，反函数是原函数的一种逆操作，其定义域和值域互换。

二、反函数求法

求反函数的步骤相当直接：将原函数表达式 y = f(x) 解为 x = f−1(y)；然后，交换变量表示为 y = f−1(x)，并相应地调整定义域和值域。例如，对于原函数 y = ex，其反函数就是 y = ln x（定义域 x > 0，值域为全体实数）。

三、反函数导数公式

如果原函数 y = f(x) 可导且 f′(x) ≠ 0，那么反函数的导数可以通过以下公式得出：(f−1(y))′=1f′(x) 或 dx/dy=1dy/dx。这一公式为我们在实际计算中提供了方便。

四、反三角函数公式

反三角函数是数学中的重要概念，下面列出了常见反三角函数的定义域、值域及导数公式：

函数 定义域 值域 导数公式

arcsin x [-1, 1] [-π/2, π/2] 1√(1 - x^2)

arccos x [-1, 1] [0, π] -1√(1 - x^2)

arctan x R (-π/2, π/2) 1/(1 + x^2)

arccot x R (0, π) -1/(1 + x^2)

这些公式为我们提供了理解和计算反三角函数的基础。

五、重要性质

反函数具有一些重要的性质，这些性质帮助我们更深入地理解反函数的本质和特性：

1. 图像对称性：原函数与反函数的图像关于直线 y = x 对称，其导数满足 f′(x)⋅(f−1)′(y)=1。这一性质揭示了原函数与反函数之间的紧密关系。

2. 单调性要求：反三角函数的定义需要在原三角函数的单调区间内进行。例如，sinx 在 [-π/2, π/2] 上定义 arcsinx。这一性质确保了反函数的唯一性和准确性。掌握了这些公式和性质，我们将能够系统地掌握反函数的基本运算与应用。无论是进行理论研究还是实际应用，反函数都是数学领域中不可或缺的一部分。