特征方程怎么求(系统的特征方程怎么求)

所谓系统的特征方程，是一种揭示闭环传递函数内在特性的重要工具。这一方程的核心使命在于找寻闭环系统的极点，这些极点决定了系统响应的运动模态。特征方程其实非常直观，它的定义就是使闭环传递函数的分母为零的等式。

当我们讨论开环系统时，假设其传递函数为GH=A/B。在这种情况下，特征方程表现为1+GH=0，即1加上传递函数的分子A除以分母B等于零。换句话说，就是分子加分母等于零的等式。更直观地理解，特征方程就如同一个指针，如果指向闭环，就直接找到其分母并将其设为零；如果指向开环，则先求出闭环再让其分母为零。

特征方程在系统中扮演着表示输入输出量之间关系的角色。比如，如果一个系统的输入输出关系表现为Ax''+Bx'+Cx=Dy'+Ey这样的微分方程，那么与之对应的特征方程就是Ar^2+Br+C=0。这里，r代表的是系统的自然频率，也就是系统的极点。

特征方程在递推数列中也有着广泛的应用。递推是中学数学中的核心概念之一，递推数列问题的要求非常高，需要灵活的内联联系和精妙的数学思想。新教材将数列放在高一讲授，并明确了递推公式的概念。对于已知第1项（或前几项）且每一项与其前一项（或前几项）之间关系明确的数列，这个关系公式就是数列的递推公式。尽管有通项公式的数列只是少数，但研究递推数列公式给出数列的方法无疑大大扩展了我们的研究范围。

在实际应用中，“根据递推公式写出数列的前几项”并不是最重要的。重要的是如何发现数列的递推关系，以及如何把这种关系转化为通项公式。特征方程在这方面发挥着至关重要的作用。通过特征方程，我们可以更深入地理解递推数列的本质，从而更准确地预测和控制系统的行为。特征方程是数学和系统科学领域中不可或缺的工具，它为我们揭示系统的内在规律和特性提供了有力的武器。