偏微分方程(偏微分方程原理)

揭示偏微分方程的神秘面纱

何为偏微分方程？它是一种包含未知函数的偏导数（或偏微分）的方程。这些方程中的未知函数偏导数的最高阶数，被尊称为该方程的阶。在数学、物理及工程技术的广阔舞台上，二阶偏微分方程尤为引人注目，它们通常被誉为数学物理方程。

当多个偏微分方程联手构成等式组，便形成了偏微分方程组。这个等式组中的未知函数也可以是多个。当方程的个数超过未知函数的个数时，这个偏微分方程组被称为超定的；而当方程的个数少于未知函数的个数时，它则被称为欠定的。

若偏微分方程（组）对所有未知函数及其导数都是线性的，那么它就被尊称为线性偏微分方程（组）。反之，则被称为非线性偏微分方程（组）。而在非线性偏微分方程（组）中，如果对于未知函数的最高阶导数来说是线性的，那么它就被称为拟线性偏微分方程（组）。

设想一个区域Ω，它是自变数空间R中的一个区域。在此区域上定义的具有|α|阶连续导数的函数u，如果能使方程(2)在Ω上恒等成立，那么u就被称为该方程在Ω中的经典意义下的解，或者简称为经典解。

偏微分方程理论主要研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解（解的存在性），有多少个解（解的惟一性或自由度），以及解的各种性质和求解方法。它还努力用偏微分方程来解释和预见自然现象，并将其应用于各门科学和工程技术。

偏微分方程理论的形成和发展与物理学和其他自然科学的发展紧密相连，两者相互促进，彼此推动。其他数学分支，如分析学、几何学、代数学、拓扑学等理论的发展，也为偏微分方程提供了深刻的影响。研究这些方程，就像是在一个神秘的世界，解开它们的秘密，我们会发现更多的数学魅力和自然奥秘。