数学期望公式方差公式

数学期望与方差：深入公式与性质

一、数学期望（Expectation）公式

对于离散型随机变量：

E(X) = Σxi⋅P(X=xi)E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)其中，xi\ixi​ 是可能的取值，P(X=xi)P(X=x_i) 是对应的概率。

对于连续型随机变量：

E(X) =∫−∞+∞x⋅f(x)dxE(X) = \int_{-\infty}^{+ \infty} x \cdot f(x) \, dx其中，f(x)f(x) 是概率密度函数。

二、方差（Variance）公式及其性质

方差是用于衡量随机变量与其期望的偏离程度的平方的期望。定义公式为：

Var(X)=E[(X−E(X))2]Var(X) = E[(X - E(X))^2]展开后可得简化公式：

Var(X)=E(X2)−[E(X)]2Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

对于离散型随机变量：

Var(X)=Σ(xi−μ)2⋅P(X=xi)Var(X) = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X=x_i)其中，μ=E(X)\mu = E(X)。

对于连续型随机变量：

Var(X)=∫−∞+∞(x−μ)2⋅f(x)dxVar(X) = \int_{-\infty}^{+ \infty} (x - \mu)^2 \cdot f(x) \, dx

性质：

1. 线性变换：期望和方差在随机变量进行线性变换时具有特定的性质。具体地，期望满足E(aX+b)=aE(X)+bE(aX + b) = aE(X) + b，方差满足Var⁡(aX+b)=a2⋅Var⁡(X)\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)，其中a,ba, ba 和 bbb 为常数。

2. 独立变量的和：若 XX 和 YY 独立，则 Var⁡(X+Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)。

三、示例验证

以常见的六面骰子为例，其期望为 E(X)=3.5E(X)=3.5，方差计算方式为 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2≈2.9167\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \approx 2.9167。均匀分布U(a,b)U(a, b)的期望和方差也有特定的公式。期望公式为 E(X)=(a+b)/2E(X)=(a+b)/2，方差公式为 Var⁡(X)=(b−a)​/​1​​\text{Var}(X)=(b-a)^​ /​​​​ 1​​ 其中bbb 为最大值，aaa 为最小值。数学期望和方差的计算涉及离散求和或连续积分的过程。在实际应用中，我们需要根据随机变量的类型选择合适的公式进行计算。