年金现值系数公式推导过程

1. 建立基本表达式

假设每期支付金额为A，利率为i，期数为n，年金现值P为未来所有支付的折现总和：

$$P = \\frac{A}{(1+i)^1} + \\frac{A}{(1+i)^2} + \\cdots + \\frac{A}{(1+i)^n}$$

这是一个等比数列，首项为$\\frac{A}{1+i}$，公比为$\\frac{1}{1+i}$。

2. 构造等比数列求和

等式两边同乘$(1+i)$得：

$$P(1+i) = A + \\frac{A}{1+i} + \\cdots + \\frac{A}{(1+i)^{n-1}}$$

新表达式与原式相减（错位相减法）可消去中间项：

$$P(1+i)

化简后得到：

$$P \\cdot i = A \\left[1

3. 整理最终公式

将上式两边除以i，得到年金现值系数标准形式：

$$P = A \\cdot \\frac{1

其中$\\frac{1

关键点总结：

- 应用场景：普通年金、先付年金等变体公式均基于此系数调整。